刚看到关于傅里叶蝶形运算的贴切说明

wanjinjie · 发表于 2013-4-26 22:03

最近对傅里叶非常感兴趣！可是网上一堆的公式是在是看得眼睛冒星星！刚看到关于傅里叶蝶形运算的贴切说明！简单的理解
如何理解傅里叶变换！感觉很好！推荐大家看看1
首先要搞明白内积运算。对于两个向量，他们的内积就是各个分量相乘再求和。对于两个函数，他们的内积就是其中随便一个函数乘以另一个的共轭，再求积分。提一句题外话，两个函数相乘等于他俩各自的共轭相乘。

2
在向量空间（Espace Vectoriel）E 中，有这么一个子集，我们定义为F={f_i}。
如果我们可以用F里的有限个元素的线性组合（Combinaison Linéaire）来表示E上的所有元素，那么这个子集F可以称作E的母族（Famille Génératrice）。
在此基础上，如果F是线性无关（Libre/Indépendance Linéaire）的——即F中没有一个元素可以用有限个其他元素的线性组合来便是，那么F则称作E的基（E中最基本的元素）。

3
正交（Orthogonale）：即两个向量（or函数）的内积为零。例如，在三角函数系中{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ...}，任意两个不同元素的内积都为零，因此这个集合成为正交集合；与此同时，任意元素和自己的内积为1，这个集合成为归一化正交（Orthonormée）集合。
对于上面提出的概念：基，如果他符合正交条件，那么称作正交基；如果符合归一化正交条件，那么称作归一化正交基。

4
搞清楚以上两个概念，我们就可以着手傅里叶变换了。
简单的说，傅里叶变换就是把信号“投影”到基上。
傅里叶用的这个基，就是一个归一化正交基：{exp(2*pi*j*f*t)} f定义在正无穷到负无穷（这是一个连续基，此外还有离散基，比如傅里叶级数的基）。

5
对于任意的实信号，我们都可以看做是一些不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
这时候，我们把这个信号和傅里叶基内积：X(f) = <x(t),exp(2*pi*j*f*t)> = 积分(x(t)*exp(2*pi*j*f*t)) ----------> 我们得到了傅里叶变换的定义！
这个基里，包含各种不同频率的正交信号，它们和信号相乘，就分别“提取”出信号里不同频率的成分。----------> 这就得到了我们所谓的频谱！

6
对于傅里叶反变换，就是把得到的频谱和傅里叶基的共轭做内积，就可以反过来了：
x(t) = <X(f),exp(-2*pi*j*f*t)> = 积分(X(f)*exp(-2*pi*j*f*t)) ----------> 我们得到了原信号！

7
打个比方，傅里叶变换就像把一个物体（信号）投影到镜子（基）上，得到了影像（频谱）。

我们把镜子反过来（基的共轭），就可以由影像（频谱）得到物体（信号）。

newestpeople · 发表于 2013-4-26 23:09

云里雾里,数学?物理?还是什么东西

safrans · 发表于 2013-4-26 23:41

newestpeople 发表于 2013-4-26 23:09 static/image/common/back.gif
云里雾里,数学?物理?还是什么东西

确切的说，这个是《信号与系统》里面的知识，然后在《数字信号处理》里面进行了更详细的分析介绍。

efan · 发表于 2013-4-26 23:47

上学时就没搞清楚，幸好俺不是信号处理专业

江南雨絮 · 发表于 2013-4-26 23:50

顶一个，最近也在搞傅里叶

icevel · 发表于 2013-4-27 08:21

好吧，完全晕了。。

快活丞 · 发表于 2013-4-27 22:47

唉，想起信号与系统俺就头疼

黑背 · 发表于 2014-11-8 22:23

物体的影子映在镜子里，把镜子翻过来就看到物体了,。。。

jigsaw · 发表于 2014-11-12 23:18

说得更绕了

		自动登录	找回密码
密码			请使用微信账号登录和注册会员